فصل توان های گویا و عبارت های جبری
8 نگاه کلی به فصل هدفهای این فصل را میتوان به اختصار چنین بیان کرد: همانگونه که توان اعداد را در آغاز برای توانهای طبیعی عددهای ٢ و ٣ تعریف میکنیم و سپس این مفهوم را برای توان ام تعمیم میدهیم ریشه عددها در سال سوم برای عددهای ٢ و ٣ تعریف شده است و لذا آن را به سایر عددهای طبیعی ریشه چهارم ریشه پنجم و بهطورکلی ریشه ام باید تعمیم داد. یادآوری میشود که فرایند تعمیم یکی ازروشهای اساسی توسعه و تکامل ریاضیات در همه شاخههای آن است. در این فصل مفهوم توان رابه توانهای کسری نیز گسترش میدهیم. البته هدف نهایی تعریف توان حقیقی اعداد است لکن به دالیل فنی در سطح فعلی به توانهای حقیقی نپرداختهایم. مفهوم توان حقیقی پیشنیاز تعریف تابع نهایی است. توابع نهایی نیز در بررسی پدیدههایی که مشمول رشد و زوال هستند بهطور طبیعی وارد بحث میشوند. پدیدههای طبیعی غالبا دچار تغییراتاند و این تغییرات یا در قالب رشد صورت میپذیرد یا از الگوی زوال پیروی میکند. وقتی یک جامعه باکتری در محیطی مناسب قرار گیرد به شد ت رشد می کند همچنین اگر مقداری مواد رادیواکتیو را در نظر بگیریم این مقدار ثابت نمیماند و دستخوش زوال شده وبه مواد سبکتر تجزیه میگردد. گرچه توان حقیقی برای اعداد گنگ به دالیل آموزشی گفته نمیشود لکن باید در نظر داشت که در عمل وقتی با یک عدد گنگ سر و کار داریم آن را با یک تقریب مناسب گویا کرده و با عدد تقریبشده گویا کار میکنیم لذا اگر پرسش شود که مثال چه عددی است هرگاه / در نظر بگیریم این توان بهآسانی به توان گویا تبدیل میشود: 7 / 7 = = = = اعداد گنگ فقط در محاسبات ریاضیات محض مطرح اند هر عدد گنگ تا هررقم اعشار که بسط داده شود در واقع با یک عدد گویا تقریب می گردد. دانش آموزان پس از مطالعه و کار روی این فصل باید بتوانند: مفهوم ریشه را برای هر عدد طبیعی مانند ٤< ٥ ٦ و در نهایت مفهوم کلی آن را برای به درستی تعریف کنند.
فصل سوم: توان های گویا و عبارت های جبری 9 رابطه ریشه و توان را به عنوان دوعمل معکوس شناخته و هر رابطه ریشه ای را به یک رابطه توانی و رابطه توانی را به یک تساوی ریشه ای تبدیل کنند. از ماشین حساب برای محاسبه ریشه و توان ها استفاده کنند. دریابند که عددهای مثبت دارای دو ریشه قرینه برای فرجه های زوج بوده لکن ریشه فرد ندارند. توان گویا را برای هر عدد مثبت برحسب ریشه تعریف کنند. قواعد ساده ریشه گیری را بیان کنند: قواعد ساده توان های گویا را بیان کنند. b = b k k = ( ) r s = r+s ( r ) s = rs با ضرب و جمع عبارت های جبری به راحتی کار کنند و اتحادها را به عنوان تساوی های بین عبارت های جبری که همواره برقرارند بشناسند. اتحادهای مکعب مجموع )تفاضل( را بیان کنند. تجزیه عبارت های + b و - b را به حاصل ضرب دو عامل انجام دهند. برخی مخرج های گنگ عبارت های جبری را با ضرب در عبارت مناسب گویا کنند. از اتحادها برای محاسبه ذهنی برخی ضرب های عددی استفاده کنند مانند: * = ( -) ( + ) = * 6 = ( -) ( + ) = دریابند که توان های عددهای بزرگ تر از واحد به سرعت افزایش می یابد. درحالی که توان های عددهای کوچک تر از واحد به سرعت کاهش می یابد. مثال به محاسبه )0/98( و )/0( بپردازند. )برای مقادیر ( به زبان فنی تر تابع )<( x صعودی و تابع )>( x نزولی است لکن نامی از تابع برده نشود.
60 نقشۀ مفهومی توان های گویا و عبارت های جبری ریشه و توان عبارت های جبری ریشۀ پنجم ریشه های چهارم ریشۀ سوم ریشه های دوم ریشۀ ام گویا کردن مخرج کسرها اتحاد های جبری
فصل سوم: توان های گویا و عبارت های جبری 6 درس او ل ریشه و توان روش تدریس هدف فعالیت تعمیق مفهوم ریشه و توان و مرور آن از سال نهم است. فعالیت این ایده را مطرح می سازد که ریشه و توان مفاهیم معکوس یکدیگرند و این فرایند با مفهوم ریشه گیری در سطوح باالتر علمی هماهنگی و انطباق دارد. وقتی 7-= )-( یعنی 7- توان سوم - است با ریشه گیری سوم از 7- به عدد - برمی گردیم. 7 = در جدول این مفهوم به عنوان فعالیت شماره تمرین شده است. در جایی عدد داده شده است و ریشه سوم آن را دانش آموزان در زیر آن عدد می نویسند و در جاهایی ریشه سوم داده شده است و عدد را از راه توان رساندن به دست می آورند. برای محاسبه ریشه سوم برخی اعداد ریشه سوم تقریبی که دانش آموز به دست می آورد کفایت می کند: 0 / 6 0 / 7 000 / 000 و یا باید توجه داشت وقتی مقدار تقریبی یک محاسبه مورد نظر است هم تقریب کاهشی و هم تقریب افزایشی مورد قبول می باشد زیرا نوع تقریب مشخص نشده است. در ادامه هدف کار در کالس که به شکل گفتمان مطرح شده است این واقعیت است که ما در ریاضیات وقتی ریشه دقیق یک عدد مورد نظرمان است به ناچار باید از نماد رادیکال استفاده کنیم. یعنی مقدار دقیق ریشۀ سوم و آن عددی است که وقتی به توان برسد برابر است. اما در عمل با مقدارهای تقریبی آن کار می کنیم. در ادامه ریشۀ چهارم تعریف شده است دانش آموزان با تکمیل تعریف باید به مفهوم سازی بپردازند: هر عدد مثبت دو ریشه چهارم دارد که قرینۀ یکدیگرند. عددهای منفی ریشۀ چهارم ندارند. در ادامه به عنوان تمرین کالسی از دانش آموزان خواسته شده تا ضمن تکمیل جدول های
6 صفحۀ به محاسبۀ ریشه های چهارم و پنجم بپردازند. عدد 6 6 0.000 0 -و 0 -و -و ریشه های چهارم و عدد - 6 7 - - -0 9 - ریشۀ پنجم / - - -0 / تنها عددهایی که ریشه پنجم آنها با خودشان برابر است - و 0 هستند. محاسبه کنید: = 00000, 0 = = 0/ 000 = 0/ هر عدد مثبت یا منفی یک ریشه پنجم دارد. اگر عدد مثبت باشد ریشه پنجم آن مثبت و اگر عدد منفی باشد ریشه پنجم آن منفی است. روش: باید دانش آموزان را یاری کرد که خودشان کادر را تکمیل کنند. می توانند با مشاوره همدیگر پرسش ها را پاسخ دهند. حل تمرین های برگزیدۀ صفحۀ 6 = > 0 > 6 >- >- 8 > 7 > 9 8 = > 0 > > 90 > >- 0 > 6 > 0 > 7 6 = >- 0 > 7 > 00 > 8 = = > 00 >
فصل سوم: توان های گویا و عبارت های جبری 6 درس دوم ریشۀ ام روش تدریس هدف تعمیم کلی مفهوم ریشه است. در ریاضیات وقتی فرایند یا عملی را برای اعداد...و و و تعریف می کنیم معموال برای همه اعداد طبیعی آن را گسترش می دهیم لذا ناچاریم با متغیر کار کنیم. کار تدریس ضمن یک فعالیت آموزشی شروع می شود. ریشه های مختلف عدد 6 در جدول آمده و از دانش آموزان خواسته می شود جدول را کامل کنند. ریشه های ششم ریشه پنجم ریشه های چهارم ریشه سوم ریشه های دوم... 6 = 8 6 = 8 6-6 و 6 6 و 6 6 6 6... داریم: = 6 6 و = 6 6 از دانشآموزان خواسته شود که با ذکر ریشه هفتم و هشتم 6 به عنوان عددهایی که وقتی به توان هفت یا هشت میرسند برابر 6 شوند مفهوم ریشه را تعمیم دهند. بعد بهجای هفت و هشت با سخن بگویند! مانند ریشههای دوم و چهارم متوجه باشند که اعداد منفی ریشه زوج ندارند. و جدول بعدی را کامل کنند. تعریف کلی مفهوم در ذیل صفحه آمده است. در صفحه با تکمیل جدول مفهومسازی تعمیق میگردد. برخی موارد آن جهت راهنمایی نوشته شدهاند. درس ضمن کار در کالس )تمرینهای کالسی( ادامه مییابد. در فعالیت بعدی )صفحه ( برخی قواعد ریشه ذکر شدهاند. الهامبخش آن قواعدی است که برای ریشههای دوم و سوم از سال قبل آموختهاند.
6 = با ساختن مثال های عددی به قاعده برسند. b = b هدف فعالیت بعدی )صفحه 7( آن است که از راه تجربی دریابند که تساوی برای وقتی که زوج است همواره برقرار نیست ( ) = ( زوج) = ( فرد) و رسیدن به این نکته است که حل تمرین های برگزیدۀ صفحۀ 8 (/ 0 ) > (/ 0 ) 0/ = 0/ < اگر 0>> > هرگاه = b طبق تعریف ریشه b = در نتیجه ( ) =. = = = = = ( ) 7 = 8 7 7 7 7 = = و = 6 برقرار است. = و b را مثبت بگیرید. برقرار است. با معنا است و برابر میباشد حال آنکه ب( = و b را منفی بگیرید بیمعنا هستند.
فصل سوم: توان های گویا و عبارت های جبری 6 درس سوم توان های گویا روش تدریس درس با یک فعالیت که ضمن گفتمان دو نفر انجام می شود شروع می شود. این پرسش مطرح می شود که توان عدد )پس از نیم ساعت کشت( چه عددی میتواند باشد. نتیجه میشود که هرگاه قرار دهیم = b باید = b باشد. پس از آن برای هر عدد توان کسری تعریف میشود: هرگاه <0 و عددی طبیعی باشد = توجه داشته باشید که در این سطح باید همواره مثبت فرض شود. ما در اینجا توان کسری عددهای منفی را تعریف نمیکنیم گرچه در ریاضیات عالی چنین امری ممکن میباشد. تعمیم: وقتی کسر یک کسر دلخواه مانند m باشد. m = m لذا توان کسری در حالت کلی تعریف شده است. درس با فعالیت های کالسی ادامه می یابد. به دانش آموزان فرصت داده می شود تا این فعالیت ها را به کمک یکدیگر حل کنند. دبیر برای نمونه برخی را پاسخ می دهد تا مطمئن شود دانش آموزان موضوع درس را آموخته اند. در همین صفحه )صفحه 60( قواعد توان برای توان های گویا ذکر شده اند که عینا همانند این قواعد برای توان های طبیعی اند. (b) r = r b r r * s = r+s ( r ) s = rs
به دانش آموزان فرصت داده شود تمرین های کالسی صفحه 6 را مانند نمونه ها حل کنند. هدف فعالیت این صفحه که بهصورت گفتمان است هدایت دانشآموزان به اینکه تساوی = همواره برقرار نیست و اینکه وقتی زوج است: = 6 = 6 = 7 7 = ( ) = = 7 7 = = 6 = 6 = = k km km k m = = = r s 6 = r s 7 = = = = 7 7 66 حل تمرین های برگزیدۀ صفحۀ 6 = = 7 = 7 m تساوی زیر برقرار است: هدف رسیدن به این قاعده از راه آزمون های عددی است. )s و r گویا و مثبت( = 6 6 = 6 = 8 = 8 =
فصل سوم: توان های گویا و عبارت های جبری 67 درس چهارم عبارت های جبری روش تدریس هدف تعمیم درس مشابه از کالس نهم است. ابتدا مفهوم اتحاد و عبارت جبری را یادآوری کنید. دانش آموزان را وادار کنید که اتحادهایی را که یاد گرفته اند مرور کرده و به زبان فارسی نیز بیان کنند: (±b) = ±b+b )( (-b)(+b)= -b )( ضمن فعالیت کالسی این اتحادها را تعمیم دهید: (+b) =(+b) (+b) =( )(+b) = + b+b +b تبدیل می کنند: -b را به b (-b) = - b+b -b توجه کنند که جمالت یک در میان با عالمت مثبت و منفی ظاهر می شوند. به دانش آموزان گفته می شود که ضرب دو جمله ای در چند جمله ای )یا چندجمله ای در چندجمله ای( جمله به جمله انجام می شود هر جمله او لی در همه جمالت دیگری: تمرین کنند: (+b)( - - - b+ - b - - b +...+b - )=... جمالت قرینه حذف شده و به دست می آید: مشابها = +b (-b)( - + - b+ - b +...+b - )= -b
68 با مثال های عددی )مقدار مشخص برای ( کار ادامه می یابد. می توانید در همین مرحله مفاهیم تجزیه و عامل )شمارنده( را توضیح دهید. وقتی یک اتحاد را از طرف دوم شکل مختصر آن بنویسیم مانند: -b =(-b)( - + - b+...+b - ) گوییم عبارت سمت چپ به حاصل ضرب دو عامل سمت راست تجزیه شده است. هریک از این دو پرانتز را یک عامل )شمارنده( b- می نامیم. عینا مانند تجزیه اعداد طبیعی به شمارنده ها. البته ممکن است عبارتی تجزیه نشود مگر به حاصل ضرب خودش در عدد x +y =(x +y )* 7=7* x -y =(x-y)(x+y) x +y = (x+y)(x -xy+y ) برخی عبارت ها عینا مانند اتحادها نیستند لکن با اندک تأمل و تفکری می توان از اتحادها برای تجزیه آنها استفاده کرد مانند مثال های و ص 6. واژه مضرب در عبارت های جبری همانند مضرب در حساب اعداد است. وقتی عبارتی را به عبارت های با درجه کوچک تر تجزیه می کنیم گوییم آن عبارت مضرب عبارت های به دست آمده می باشد. دانش آموزان را وادار کنید که عبارت سازی کنند. مانند آنکه سه عبارت بسازند که مضرب +b و یا مضرب -b باشند. تعریف عبارت گویا در صفحه 66 آمده است. عبارت های الف و ب این صفحه گویا و ب و ت گنگ هستند. مخرج کسر با ضرب صورت و مخرج در عبارت مناسب گویا شده است. پس مخرج مشترک سه کسر x + x + = = x ( x )( x + ) x ( x ) = x + x x عبارت x- است. x x + و و تمرین های صفحه 67 برای آشنایی و ممارست دانش آموزان در گویا کردن مخرج ها می باشند که با راهنمایی دبیران محترم در صورت لزوم انجام می دهند. حل تمرین های برگزیدۀ صفحۀ 67 x 6 -y 6 =(x -y )(x +y )
فصل سوم: توان های گویا و عبارت های جبری 69 = (x-y)(x +xy+y )(x+y)(x -xy+y ) x xy + y = x y ( x y)( x xy + y ) x +y تجزیه نمی شود. α = x y x 8x + 6 α = = = x x 8 ( x 8)( x 8x + 6) x 8 x x + ( x ) x + = + x x + x x x x )ت( x + + x x x x = = x x (ذهنی) +000+ =00 0 =0 (ذهنی) =0.000-00+ =(00-) 99 =980 8 7 8 6 8 8 8 8 8 x + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x + + + + x x x x x = ( x )( x + x + x + ) +b =(-b)( + b+b +b) 8 -b 8 =(-b)( 7 + 6 b+ b + b + b + b + b 6 +b 7 ) الگوها: